calcolo della deformata elastica

Consideriamo un punto P(x,y,z) di un sistema continuo isotropo non deformato e un altro punto Q(x + dx,y + dy,z +dz) distante da P di un tratto sufficientemente piccolo d\vec r = \left ( dx, dy, dz \right). A seguito di una deformazione il punto P(x,y,z) si porterà in P' percorrendo \vec s = \vec {PP'} = \left (s_x, s_y, s_z \right) e Q si porterà in Q', di un tratto sufficientemente piccolo \vec s + d\vec s = \vec {QQ'} = \left (s_x + ds_x , s_y + ds_y, s_z + ds_z \right). In pratica il vettore \vec {PQ} = \left (dx, dy, dz \right) si trasformerà in \vec {P'Q'}= \left (ds_x, ds_y, ds_z \right), secondo le relazioni:

ds_x = \frac {\partial s_x} {\partial x} dx + \frac {\partial s_x} {\partial y} dy + \frac {\partial s_x} {\partial z} dz
ds_y = \frac {\partial s_y} {\partial x} dx + \frac {\partial s_y} {\partial y} dy + \frac {\partial s_y} {\partial z} dz
ds_z = \frac {\partial s_z} {\partial x} dx + \frac {\partial s_z} {\partial y} dy + \frac {\partial s_z} {\partial z} dz

Possiamo esprimere queste relazioni in forma matriciale in cui si nota una matrice a nove derivate parziali detta tensore di deformazione S:

\begin{bmatrix} ds_x \\ ds_y \\ ds_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {\partial s_x} {\partial x} & \frac {\partial s_x} {\partial y} & \frac {\partial s_x} {\partial z} \\ \frac {\partial s_y} {\partial x} & \frac {\partial s_y} {\partial y} & \frac {\partial s_y} {\partial z} \\ \frac {\partial s_z} {\partial x} & \frac {\partial s_z} {\partial y} & \frac {\partial s_z} {\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}

Ogni tensore può essere decomposto in un tensore simmetrico più un tensore antisimmetrico S = S_s + S_a:

S_s = \begin{bmatrix} \frac {\partial s_x} {\partial x} & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y}+\frac {\partial s_y} {\partial x} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial z}+\frac {\partial s_z} {\partial x} \right)  \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_y} {\partial x}+\frac {\partial s_x} {\partial y} \right) & \frac {\partial s_y} {\partial y} & \frac {1} {2} \left(\frac {\partial s_y} {\partial z}+\frac {\partial s_z} {\partial y} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial x}+\frac {\partial s_x} {\partial z} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial y}+\frac {\partial s_y} {\partial z} \right) & \frac {\partial s_z} {\partial z} \end{bmatrix}

S_a = \begin{bmatrix} 0 & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y}-\frac {\partial s_y} {\partial x} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial z}-\frac {\partial s_z} {\partial x} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_y} {\partial x}-\frac {\partial s_x} {\partial y} \right) & 0 & \frac {1} {2} \left(\frac {\partial s_y} {\partial z}-\frac {\partial s_z} {\partial y} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial x}-\frac {\partial s_x} {\partial z} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial y}-\frac {\partial s_y} {\partial z} \right) & 0 \end{bmatrix}

 

e se sapessi di cosa sto parlando potrei anche andare avanti.

  • R e L

    🙁